CÁLCULO GRACELI SINTÉTICO [5]

CÁLCULO GRACELI SINTÉTICO. SÍNTESES ENTRE FUNÇÕES DIVERSAS E VARIÁVEIS.

O SISTEMA DE FUNÇÕES E EQUAÇÕES DE GRACELI É UMA REPRESNTAÇÃO DESTE TIPO DE SÍNTESE.

TEOREIA GRACELI DAS FUNÇÕES.

VEJAMOS ALGUMAS.

$\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}$ , $\operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] $n \choose k$ 1 / Pw / n!,] / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ - $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ / $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ]/ PW== dx

$\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}$ , $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}$ $S=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ . / [pw] $\zeta (s)\ =\ \sum _{{n=1}}^{\infty }\ {\frac {1}{n^{s}}}.$ , $\sum {1 \over n^{\alpha }\,(\ln n)^{\beta }}.$ , $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ , $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] dx

$\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}$ , ${\textstyle H_{n}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{j}}}$ ) / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] 1 / Pw / n!,] $\operatorname {Li} _{s}(z)$ / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ - $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ / $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] / PW== dx

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$ / [pw] $\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] 1 / Pw / n!,] $\psi _{n}(z)$ / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ - $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ / $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] / PW=dx

$\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}$ , $\sum _{n=a+1}^{\infty }{\frac {a}{n^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2}}H_{2a}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] 1 / Pw / n!,] $\Gamma (z)$ / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ - $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ / $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] PW= dx

onde $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ é a raiz $p$ -ésima primitiva da unidade.

p = progressão.

k = variável complexa.

$S=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ .,,, $\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}$ / [pw] $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] =

funçõs zeta Graceli composta :

ζ / $\zeta (s)$ G = $\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}$ $\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi n^{2}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}$ 1 / Pw / n!,] $\Gamma (z)$ / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ - $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ / $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] PW=

$\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}$ , $\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi n^{2}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}$ [pw] ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ ζ / $\zeta (s)$ G = 1 / Pw / n!,] $\psi _{n}(z)$ / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ - $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ / $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] / PW==

$\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}$ , $\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi n^{2}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}$ . / [pw] / $\zeta (s)$ G = 1 / Pw / n!,] $\operatorname {Li} _{s}(z)$ / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ - $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ / $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] / PW==

$\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}$ , $S_{\varphi }=\lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}\varphi (\delta m)={\frac {1}{2}}.$ . / [pw] ζ ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ ζ / $\zeta (s)$ G = $S_{\varphi }=\lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}\varphi (\delta m)={\frac {1}{2}}.$ 1 / Pw / n!,] / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ - $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ / $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ]/ PW==

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ . $\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}$ , / [pw] $\sum {1 \over n^{\alpha }\,(\ln n)^{\beta }}.$ ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ ζ / $\zeta (s)$ G = 1 / Pw / n!,] / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ - $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ / $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] / PW==

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ . $\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}$ , / [pw] $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ ζ / $\zeta (s)$ G = [SAPR / Pw / n!,] / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ - $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ / $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] / PW==

$\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}$ , $R={\frac {f^{{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{{n+1}}$ . / [pw] $\sum _{{n_{1},\cdots ,n_{k}>0}}{\frac {1}{(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\ldots +n_{k}^{2})^{{\alpha /2}}}},$ ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ ζ / $\zeta (s)$ G = [SAPR / PO / n!,] / ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$ Q $\zeta (s)$ - $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$ $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$ / [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] / PW==

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.

\delta (t)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {e^{\frac {-t^{2}}{\epsilon ^{2}}}}{\epsilon {\sqrt {\pi }}}}

,,,/ [pw] ζ /

\zeta (s)

G = [SAPR / PO / n!,] /

{\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}

Q -

\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.

\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}

/ [

{\frac {\pi }{2}}t^{2}

] / PW= =

Pour $α$ un nombre complexe, on appelle série de Riemann la série suivante : $S=\sum _{{n\geq 1}}{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ . $L=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}\,$ / [pw]

La série harmonique en est un cas particulier, pour $α$ = 1 : $\sum _{{n\geq 1}}{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\ldots$ $L=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}\,$ / [pw]

Convergence[modifier | modifier le code]

La série de Riemann de paramètre complexe $α$ converge absolument si $Re(α) > 1$ , et diverge si $Re(α) \leq 1$ .

En effet :

si $Re(α) \leq 0$ , la série est grossièrement divergente ;
la preuve de la convergence absolue pour $Re(α) > 1$ peut se faire par comparaison série-intégrale avec l'intégrale impropre associée :
$\int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t^{\alpha }}}~;$
celle de la divergence pour $α \in ]0, 1]$ également ;
si $α = σ + i t$ avec $σ \in ]0, 1]$ et t réel non nul, il suffit d'affiner un peu la méthode.

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann.

On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout $α$ entier pair supérieur ou égal à 2. Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour $p$ entier naturel non nul :

\sum _{{n=1}}^{{+\infty }}{1 \over n^{{2\,p}}}=r_{p}\,\pi ^{{2\,p}}

, où

r_{p}

est un nombre rationnel (voir Nombre de Bernoulli).

Par exemple $\sum _{{n=1}}^{{+\infty }}{1 \over n^{{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},\quad \sum _{{n=1}}^{{+\infty }}{1 \over n^{{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \sum _{{n=1}}^{{+\infty }}{1 \over n^{{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}},\quad \sum _{{n=1}}^{{+\infty }}{1 \over n^{{8}}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}.$

En revanche, on ne sait rien concernant les valeurs prises pour $α$ entier impair, hormis que pour $α$ = 3, la somme, appelée constante d'Apéry, est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1978).

Fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Fonction zêta de Riemann.

La fonction zêta de Riemann $ζ$ est définie sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 par la série convergente :

\zeta (s)\ =\ \sum _{{n=1}}^{\infty }\ {\frac {1}{n^{s}}}.

Il s'agit d'une fonction holomorphe sur ce demi-plan.

Elle intervient dans l’étude de la répartition des nombres premiers dans le cadre de l’hypothèse de Riemann.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Les séries de Bertrand, de la forme $\sum {1 \over n^{\alpha }\,(\ln n)^{\beta }}.$
Les séries de Dirichlet, de la forme $\sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.$
Les séries de Riemann multiples, de la forme $\sum _{{n_{1},\cdots ,n_{k}>0}}{\frac {1}{(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\ldots +n_{k}^{2})^{{\alpha /2}}}},$ Il y a convergence absolue si et seulement si $Re(α) > k$ .